Родился 29 ноября 1920 года в селе Игнатовка Майновского района Ульяновской области.

В 1939 году поступил в Ульяновское военное училище связи имени Орджоникидзе. С июня по ноябрь 1941 года - командир взвода 14-го полка связи Забайкальского военного округа. В феврале 1942 года прибыл на Западный фронт в составе 231-го отдельного батальона связи 116-й стрелковой дивизии, в должности командира роты участвовал в освобождении Калуги. 14 августа 1942 года дивизия переброшена на Сталинградский фронт, где с ходу была брошена в бой. Затем в составе 116-й стрелковой дивизии 53-й армии участвовал в Курской битве, освобождении Харькова. 11 августа 1943 года при наступлении на Харьков тяжело ранен и направлен на лечение. После госпиталя проходил военную службу в части МПВО Ульяновска. В начале 1944 года часть перевели в Киев, где А.И. Бешенков продолжал службу в подразделениях МПВО в должности командира роты управления, а затем начальника штаба 6-го инженерно-противохимического батальона в Киеве. С сентября 1960 года переведен на должность преподавателя-начальника химической службы в городе Котовске Одесской области.

После увольнения в запас в 1962 году работал председателем профсоюзной организации Киевского высшего зенитно-ракетного училища имени С.М. Кирова. В 2001 году избран председателем организации инвалидов войны и Совета ветеранов Соломенского района Киева.

Награжден орденом Отечественной войны I степени, орденом Богдана Хмельницкого, медалями "За отвагу", "За боевые заслуги", "За победу над Германией", "За оборону Сталинграда" и другими.