Родился 8 января 1924 года в деревне Уна Приморского района Архангельской области.

С 11 лет работал в леспромхозе. 19 сентября 1941 года призван в Красную Армию и зачислен в 432-ю лыжную разведывательную роту. Участвовал в боях под Тихвином. В феврале 1942 года при возвращении из разведки попал под вражеский артиллерийский обстрел и получил тяжелое ранение: осколок разорвал мышцы, раздробил кость правой руки. После излечения в госпитале признан негодным к службе и был демобилизован.

В 1942 году возвратился в родную деревню. До конца войны работал летом в колхозе, зимой - на лесоповале. В феврале 1946 года переехал в Мурманск. С 1946 по 1988 год трудился на траловом флоте в качестве старшего тралмейстера, заслужив репутацию одного из лучших мастеров лова рыбы в стране.

К.М. Мошников принимал в западногерманском городе Киле один из первых в Советском Союзе БМРТ "Гоголь" и осваивал на нем кормовое траление - принципиально новый способ добычи рыбы. Позднее стал участником первой антарктической экспедиции, которой руководил выдающийся ученый Михаил Сомов.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 апреля 1971 года К.М. Мошникову присвоено звание Героя Социалистического Труда. Награжден орденами Ленина, Отечественной войны I степени, Трудового Красного Знамени, медалями "За отвагу", "За трудовое отличие", "За оборону Ленинграда", многими другими.