Родился 13 мая 1911 года в Петроварадине (автономный край Воеводина) в рабочей семье. Младшую гимназию (начальную школу) окончил в Петроварадине.

8 марта 1937 года Коста явился в лагерь добровольцев в Финтерасе. В Испании он сначала командовал взводом, позднее ротой и батальоном. Когда испанские беженцы отступали, Начь принял на себя командование одной из двух бригад, которые отходили через Пиренеи на Север. В конце концов он оказался в плену и стойко прошел все тяготы в нескольких французских и немецких лагерях.

Между тем на востоке уже вовсю пылала война: фашистская Германия вторглась на территорию СССР. Многие в Югославии встретили это известие с болью. 16 июля 1941 года Начь с первой группой "испанцев" прибыл в Загреб. А 5 августа его направили в Карловац для оказания помощи оперативному руководству в организации восстания.

Закаленный коммунист, принятый в компартию еще в 1937 году в Испании, и испанский воин - Коста вместе с Владом Поповичем посещают Лику, Кордун и Банию, оказывают там помощь военным и политическим кадрам. А с 9 сентября 1941 года по приказу Главного штаба Народно-освободительного движения Югославии они работают в Боснийской Крайне. На совещании в Столицах (26.9.1941) Коста назначен членом новообразованного Главного штаба Боснии и Герцеговины.

В начале февраля 1942 года Коста становится командующим частями Западной Боснии. Это - территория от реки Босна до Цны. В период от 23 февраля до конца июля 1942 года контролируемая ими территория значительно возрастает. Она включает уже Далмацию, Ликой, Дрварон, Мрконич-Градом и пункт Яйце.

В боях со 2 по 4 ноября 1942 года освобождена Западная Крайна с г. Бихач. За этот боевой успех Иосип Броз Тито выразил Косте особую благодарность.

В ноябре 1942 года началась реорганизация партизанской армии. Она преобразовывается в Народно-освободительную армию. В ее составе создаются первые соединения. Коста становится командиром Первого корпуса Народно-освободительной армии Югославии.

Осень 1942 года, зима и весна 1943 года были периодом в целом успешных действий Народно-освободительной армии Югославии. С учетом итогов битв на Неретве и Сутеске наиболее выдающимся командующим за большие заслуги и успешное командование Иосип Броз Тито 10 августа 1943 года присвоил офицерские звания. Именно тогда Коста, а также Пеко и Коча стали полковниками Народно-освободительной армии Югославии.

В этот период Коста непрерывно продвигается как военный и политический деятель. 1 января 1945 года он был назначен командующим Третьей армией (12, 6 и 10-й корпуса). Эта армия форсировала Дунай и Драву, участвовала в освобождении Воеводины, Бараньи, Славонии, Подравины и частично Штаерской.

После освобождения страны (май 1945 года) Начь Степана Коста - один из ближайших соратников Иосипа Броз Тито в учреждении Вооруженных Сил страны, второй человек в Югославской Народной армии, генерал армии. С 1945 года Коста - депутат в Союзной Скупщине. 20 декабря 1951 года Начь Степана Коста провозглашен Народным героем Югославии. С VI съезда Союза коммунистов Югославии (он состоялся со 2 по 7.11.1952 г.) четыре раза избирался членом ЦК СКЮ. С 1974 года по 1981 год он председатель СУБНОРа Югославии.

Он награжден орденами Свободы, Героя Социалистического Труда, многими другими югославскими и иностранными орденами и медалями.