Родился 25 мая 1923 года в деревне Шестаки Пучежского района Ивановской области.

В 1939 году окончил среднюю школу, работал учителем в сельской школе. В августе 1941 года призван в Красную Армию рядовым 75-го запасного артиллерийского полка. С ноября 1941 по май 1942 года - курсант 1-го Ленинградского артиллерийского училища. По окончании училища был назначен командиром курсантского взвода. В августе 1942 года назначен заместителем командира батареи 76-мм пушек 89-го артиллерийского полка 62-й стрелковой дивизии, которая в сентябре 1942 года совершила марш из-под Пензы в район Сталинграда. В ее составе принимал участие в боях по соединению с частями Красной Армии, окруженными в Сталинграде. Дивизия задачу не выполнила и через неделю была расформирована.

А.Е. Чеберев был направлен в офицерский резерв Донского фронта, откуда получил назначение командиром батареи в 24-ю стрелковую дивизию 65-й армии. В ее составе участвовал в контрнаступлении и ликвидации окруженной группировки противника под Сталинградом. В июле 1943 года получил осколочное ранение в ногу, но остался в строю. В июне 1944 года контужен, 2 недели лечился в медсанроте дивизии. В феврале 1945 года на реке Одер получил осколочное ранение в голову, лечился месяц в медсанроте дивизии, вернулся в строй.

После войны служил в 32-й гаубичной артиллерийской бригаде заместителем начальника школы сержантов - сначала в Группе советских войск в Германии, а с февраля 1946 года в Гороховецком учебном центре. Затем был командиром батареи 32-й гаубичной артиллерийской бригады, офицером батареи, командиром батареи управления школы сержантов, начальником штаба дивизиона, начальником разведки, командиром дивизиона 104-й гаубичной артиллерийской бригады. В 1960 году бригада была переведена в город Калинин, А.Е. Чеберев получил назначение на должность командира дивизиона. В этой должности в звании подполковника был уволен из армии в отставку.

Награжден орденами Красного Знамени, Александра Невского, Отечественной войны I и II степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями "За отвагу", "За оборону Сталинграда" и другими.