Родился в деревне Белый ключ Ульяновской области.

Призван на фронт в 1942 году Вешкаймским РВК Ульяновской области. Сначала был направлен в часть, где обучался на наводчика противотанковых орудий. Уже к концу 1942 года его направили в маршевую роту под Сталинградом.

Первый бой принял в 1943 году в составе истребительно-противотанковой артиллерийской батареи 434-го стрелкового полка 169-й стрелковой дивизии под Козельском. В одном из боёв за деревню Розно (при прорыве вражеской обороны) Александр Андреевич своей четкой и самоотверженной работой содействовал быстрому подавлению и уничтожению огневых средств и живой силы противника. Во время обстрела противником огневой позиции батареи вывело из строя наводчика орудия, действуя смело и решительно, т. Чеботаев стал у панорамы вместо убитого наводчика и продолжал вести уничтожающий огонь по обороне противника, содействуя тем самым усиленному продвижению стрелковых подразделений. Меткими выстрелами он уничтожил две пулеметных точки с расчетами и одну противотанковую пушку с прислугой. При смене огневой позиции на подступах к деревне Розно осколком снаряда т. Чеботаев был ранен и направлен в госпиталь. 12 июня 1944 года за мужество и отвагу, проявленную в боях за Родину, Александр Андреевич Чеботаев был представлен к медали "За отвагу".

После госпиталя Александр Андреевич был назначен водителем военной машины ГАЗ-3А. Участвовал в освобождении Литвы и Латвии. Был снова ранен. Победу встретил недалеко от города Риги.

Новым местом жительства стал целинный совхоз "Северный" Нагайбакского района Челябинской области. Александр Андреевич работал шофером, заведующим гаражом, председателем рабочего комитета.