Родился 30 декабря 1911 года в городе Купянске Купянского уезда Харьковской губернии (ныне – Харьковской области Украины). Супруга – Антонова Нина Ивановна.

Константин Тимченко родился в семье служащего и рано остался без родителей. Воспитывался в шести детских домах. Затем работал учеником слесаря на сахарном заводе и одновременно учился в средней школе. В 1934 году был принят в Батайскую летную школу гражданской авиации, которую через год окончил с отличием. Работал в Осоавиахиме города Ульяновска летчиком-инструктором. В январе 1939 года переведен в Мелитопольский аэроклуб, где подготовил более тридцати курсантов для Качинского авиаучилища на самолетах У-2.

В начале войны выполнял приказы по эвакуации материальной части самолетов различных типов в глубь страны. В РККА призван 24 августа 1941 года Мелитопольским городским военкоматом (Запорожская область). Тогда же принял боевое крещение, выполняя задания по поддержке обороняющихся частей Красной Армии на Перекопе и Сиваше. В ходе боевых вылетов приходилось производить бомбометание, вывозить раненых с поля боя, заниматься доставкой продуктов и медикаментов, поддерживать связь с партизанами, сбрасывать листовки над оккупированными городами.

В декабре 1941 года он был сбит над Темрюком. Упал в лиман, тяжелые унты и комбинезон потащили под воду, но, к счастью, было неглубоко, и он сумел выбраться на берег, пройдя по дну полтора километра.

В октябре 1942 года его У-2 получил более 200 пробоин. К счастью, неподалеку от места вынужденной посадки находился партизанский отряд, где помогли устранить повреждения. Первую награду – медаль «За отвагу» он получил 6 ноября 1942 года.

В представлении к награде командир авиазвена связи старший лейтенант Буцкий написал (орфография оригинала сохранена, – прим. ред.): «В период крымских боев т. Тимченко летал храбро и уверенно, и не было случая, когда бы не выполнил задания по доставке боевых приказов независимо от метеорологических условий и неоднократно подвергался опасности со стороны вражеских истребителей, выходя из-под обстрела маневром самолета, презирая смерть. При эвакуации наших частей с Керченского полуострова в октябре 1941 г. т. Тимченко перебрасывал через Керченский пролив рации, вооружение, раненых бойцов и командиров. 14-го октября при сильном шторме на море и морозе была прервана связь с другим берегом Керченского пролива и угоняло лодки штормом в открытое море с бойцами и командирами. Т. Тимченко на связном самолете, презирая опасностью, установил связь со штабом 9 стрелкового корпуса и по заданию вице-адмирала Левченка и майора Петенко вел спасательные работы с самолета, сбрасывая к обнаруженным лодкам канаты с приказами, и бойцы выходили, цепляясь за канаты, на мель. При переброске десантных групп в конце декабря 1941 года и января 1942 года т. Тимченко держал связь берега с находящимися кораблями в море и выполнял задание по доставке боевых приказов, около гор. Анапа был атакован вражескими самолетами, под обстрелом доставил пакеты в 105 горно-стрелковый полк в срок. Т. Тимченко, полетев по связи в партизанский отряд, 6 октября 1942 года около Терекли Михтеб (Терекли-Мектеб, – прим. ред.) был атакован вражеским истребителем. «М-110» семь раз атаковывал его самолет, вел огонь из пулеметов, пушки и сбрасывал бомбы. Самолет загорелся. Т. Тимченко, не обращая внимания на угрозу, подбежал к самолету и потушил его, отбив пламя. В самолете насчитывалось около 300 пробоин, он кое-как восстановил самолет, заклеил мылом и позабивал деревянными колушками бензобак и под угрозой воспламенения доставил самолет на свою базу и, отремонтировав его, продолжал на нем летать по связи».

В период Сталинградской битвы командующим 8-й воздушной армией генералом Тимофеем Тимофеевичем Хрюкиным Константин Тимченко был прикомандирован к штабу Сталинградского фронта. С первых дней Сталинградского сражения старший лейтенант Тимченко обеспечивал связь между фронтами над территорией от Моздока до Эльтона. Тимченко летал на собственном самолете У-2, который они вдвоем со штурманом купили на деньги, накопленные благодаря офицерским денежным аттестатам. Он поддерживал и связь командования с партизанами на Астраханско-Кизлярском направлении в период частичной оккупации немецко-фашистскими войсками Калмыцкой АССР. Летать приходилось днем и ночью, в сложнейших метеоусловиях садиться на малопригодные, а то и вовсе неприспособленные площадки.

Самолет У-2 представлял собой одностоечный биплан деревянной конструкции с полотняной обшивкой, был дешев, невероятно надежен и имел незаурядные летные качества. В одной из летных школ инструктор так объяснял курсантам основные особенности конструкции машины: «Самолет У-2 состоит из палочек и дырочек. Палочки для усиления, дырочки – для облегчения». Спектр применения этой грозы немецкой армии на фронте был крайне широк, и он доставлял противнику массу неприятностей. Командование Люфтваффе, прозвавшее наш самолет «русс-фанер», даже издало приказ, чтобы за каждый сбитый такой самолет летчиков представляли к наградам. В течение всей Великой Отечественной войны У-2 оставался основным связным самолетом и скрытно доставлял партизанам боеприпасы, продовольствие и медикаменты. После смерти своего создателя Н.Н. Поликарпова в 1944 году в его честь У-2 получил более привычное обозначение По-2. Модификация самолета для связи была практически беззащитна, так как была оборудована лишь пулеметом ШКАС.

17 марта 1943 года Тимченко был награжден орденом Красного Знамени. В представлении к награде значится: «Тов. Тимченко по заданию начальника группы войск Кизлярского Астраханского направления держал связь с партизанскими отрядами, летал на боевую разведку диверсионных групп противника, имея на своем счету свыше 30 полетов только в партизанские отряды, неоднократно подвергался обстрелу с земли и вражеских самолетов – выходил из-под огня маневром самолета. Имеет на своем счету свыше пятисот полетов по заданию командования».

Всего за время войны майор Тимченко совершил 894 боевых вылета, общий налет составил 1703 часа.

В послевоенные годы Тимченко стал летчиком-испытателем, работал в УССР, до 1950 года осваивал новые образцы авиационной техники. Во второй половине 1950-х годов выполнял спецзадания по созданию «атомного щита» СССР на Новой Земле, летал на Северный Полюс. Неоднократно участвовал в воздушных парадах. В 1959 году подполковником уволился из армии.

Впоследствии работал старшим инженером в аэроклубе ДОСААФ, инженером отдела комплектации на тульском заводе «Прибой», мастером завода «Баррикады» в Волгограде, куратором Приокского управления радиотехнической и электронной промышленности, младшим научным сотрудником волгоградского Краеведческого музея. Долгие годы занимался военно-патриотическим воспитанием молодежи.

6 апреля 1985 года награжден орденом Отечественной войны II степени. В 1999 году за заслуги в области испытаний ядерного оружия – орденом Мужества. 29 января 1993 года «за большую работу по патриотическому воспитанию молодежи, направленную на укрепление обороноспособности России, и в связи с 50-летием Победы в Сталинградской битве в ходе Великой Отечественной войны» – Почетной Грамотой Президиума Верховного Совета Российской Федерации.

Его супруга Нина Ивановна тоже прошла войну, и стала единственной в Волгограде женщиной, имеющей награду «Сталинградская мадонна». Она получила ее за два года до 60-летия Сталинградской битвы от немецкой миротворческой организации.

27 апреля 2011 года на доме, где он жил с 1981 по 2005 год в Волгограде, решением Волгоградской городской Думы установлена мемориальная доска.

К.К. Тимченко награжден орденом Мужества, двумя орденами Красного Знамени, орденом Отечественной войны II степени, двумя орденами Красной Звезды, многими медалями, в том числе «За отвагу», «За боевые заслуги», «За оборону Сталинграда», «За оборону Кавказа». Отмечен Почетной грамотой Президиума Верховного Совета Российской Федерации.